pmأول
من عرف باستخدام مفاهيم النهايات والتقارب كان عدد من رياضيي اليونان
أمثال اودوكسوس و أرخميدس الذين قاما باستخدام هذه المفاهيم بشكل غير
تقليدي عندما استخدما طريقةالإستنفاذ method of exhaustion لحساب مساحة
وحجم المساحات والأجسام. في القرن الثاني عشر قام الرياضي الهندي باسكارا
بإعطاء عما يمكن أن ندعوه الآن "معامل تفاضلي" وكانت الفكرة الأساسية وراء
ما ندعوه حاليا مبرهنة رول. في القرن الرابع عشر قام الرياضياتي الهندي
مادهافا من سانغاماغراما بالتعبير عن عدة دوال مثلثية كسلاسل غير متناهية ،
قدر مقدار الخطأ في التقديرات التي تعطيها هذه السلاسل .
في أوروبا
نشأ التحليل في القرن السابع عشر عن طريق اختراع مستقل لكلا العالمين
اسحاق نيوتن و غوتفريد لايبنتز. في القرن السابع عشر و الثامن عشر، تطورت
تطبيقات مواضيع التحليل مثل حساب التغيرات و المعادلات التفاضلية النظامية و
الجزئية، سلاسل فورييه و الدوال المولدة generating function في الأعمال
التطبيقية .كما استخدم التحليل الرياضي لمقاربة مسائل الرياضيات المتقطعة
بمثيلاتها المستمرة و نجحت هذه الطريقة في عدة حالات .
خلال القرن
الثامن عشر كان تعريف الدالة الرياضي موضع نقاش طويل بين الرياضيين . في
القرن التاسع عشر، كان كاوشي أول من وضع التحليل على أساس منطقي ثابت
بإدخال مفهوم سلسلة كاوشي. كما أنه بدأ بوضع النظرية الشكلية للتحليل
المركب (العقدي). سيمون بواسون وليوفيل Liouville و جان-بابتيست جوزيف
فورييه وآخرون قاموا بدراسة المعادلات التفاضلية الجزئية والتحليل التوافقي
harmonic analysis.
في منتصف القرن قدم بيرنارد ريمان نظريته حول
التكامل . جاء بعده كارل فايرشتراس الذي قام بحسبنة arithmetization
التحليل في نهاية القرن التاسع عشر ، معبرا عن شكوكه ان البرهنة الهندسية
تحوي خللا مضللا و هنا قام بتقديم تعريف ε-δ للنهاية .
بدأ عندها شك
الرياضيون بأنهم يفترضون وجود استمرارية continuum في الأعداد الحقيقية
بدون برهان . قام عندها ديديكايند بتشكيل الأعداد الحقيقية باستخدام حد
ديديكايند Dedekind cut . في ذات الوقت تتالت المحاولات لتحسين مبرهنة
تكامل ريمان مما أدى لدراسة "حجم" مجموعة تقطعات discontinuity الدوال
الحقيقية .
ضمن هذا السياق ، قام كاميل جوردان بتطوير نظريته حول
القياس ، في حين طور كانتور ما يمكن تسميته حاليا بنظرية المجموعات المبسطة
، باير قام باثبات عن مبرهنة تصنيف باير. في أوائل القرن العشرين، تمت
صياغة التحليل الرياضي باستخدام نظرية المجموعات البدهياتية axiomatic set
theory. قام هنري ليون ليبيسيغ Henri Leon Lebesgue بحل مشكلة القياس، في
حين قام هلبرت بتقديم فضاء هلبرت لحل المعادلات التكاملية. كانت فكرة
الفضاء الشعاعي المنظم normed vector space تلوح في الأفق ، في عام 1920
قام ستيفان باناخ بإيجاد التحليل الدالي functional analysis.
البوابة 